Cómo midió Aristarco de Samos la Luna y el Sol

(Texto e imágenes según Juan Meléndez Sánchez. Curso de humanidades 'Las ideas de la ciencia'. Universidad Carlos III de Madrid)

Aristarco de Samos (310-230 a.C) fue el primer astrónomo que abordó científicamente el problema de determinar relaciones entre distancias en el Sistema Solar y el tamaño de sus astros; consiguiendo medir así el tamaño del Sol y la Luna mediante una metodología impecable.

La medición de estos astros tiene un interés doble, pues si conocemos su tamaño podemos saber también a que distancia se encuentran. La idea básica es que un objeto de un tamaño determinado se ve más o menos grande según esté más o menos lejos: el tamaño aparente  nos da una idea de la distancia.
Pero para convertir esta idea en una medida es necesario precisarla ¿Qué quiere decir que un objeto 'se ve grande'? Quiere decir que su tamaño angular es grande, es decir, que el cono visual que determina el objeto (con nuestro ojo como vértice y el objeto como base) tiene un ángulo grande. Ese es el ángulo subtendido (abarcado) por el objeto.


El Sol y la Luna subtienden, vistos desde la Tierra, el mismo ángulo.

Habría que medir entonces los tamaños angulares del Sol y la Luna.
Es fácil medir el de la Luna, pero no el del Sol, ya que brilla demasiado para mirarlo. La solución se halla en que el ángulo que subtiende al Sol es prácticamente igual que el que subtiende a la Luna - algo que se puede saber sin mediciones si analizamos los eclipses solares.
Estos eclipses duran muy poco tiempo, lo que quiere decir que cuando la Luna llega a cubrir al Sol el exceso de tamaño de la Luna tiene que ser muy pequeño.
Por otra parte, los eclipses de Sol demuestran también que la Luna esta más cerca que el Sol (ya que es la Luna la que tapa al Sol y no al contrario). Como ambos subtienden el mismo ángulo, no solo la Luna tiene que ser más pequeña que el Sol, sino que la proporción entre distancias tiene que ser igual que la proporción entre tamaños.

En esta relación entre tamaño (r) y distancia (d) para la Luna y el Sol, si medimos α basta conocer los radios para saber las distancias y viceversa. Eratóstenes midió el radio para la Tierra, pero su método exigía hallarse en la Tierra. La ecuación anterior sugiere un punto de partida ¿No podríamos medir la distancia del Sol a la Tierra ó de la Luna a Tierra? Al fin y al cabo, Tales de Mileto midió la distancia de un barco construyendo un triángulo rectángulo con estacas en la playa, y ese barco era tan inaccesible para él como lo son la Luna o el Sol.
La idea consiste en que tal vez es posible medir la distancia por un método trigonométrico y luego obtener el tamaño por el ángulo subtendido.
La primera dificultad al intentar aplicar el método de Tales radica en que él podía caminar por la playa hasta colocarse en un punto auxiliar suficientemente separado del punto inicial. Cuando por objeto en vez de un barco, se tiene a la Luna o el Sol, el punto inicial nunca va a estar lo suficientemente alejado, aunque se usara como 'nuestra playa' a la Tierra entera.
En este caso Aristarco propone que, ya que lo que se necesita es formar un triángulo rectángulo, porque no asignar un vértice de este triángulo al Sol, otro a la Luna y otro a la Tierra.
Surge la duda de si en verdad es posible que los tres cuerpos celestes se encuentren en algún momento alineados de tal manera que formasen un triángulo rectángulo perfecto entre ellos.
Aristarco halló que no solo sí que forman un triángulo rectángulo bastante a menudo, sino que no es necesaria ninguna observación sofisticada para determinar dicho momento: es simplemente cuando media Luna esta iluminada y media Luna esta oscura.
En ese momento los tres cuerpos se hallan necesariamente colocados en los vértices de un triángulo rectángulo, con la Luna en el ángulo recto.

Como calcular la proporción entre las distancias de la Tierra, el Sol y la Luna.

De este modo Aristarco encontró que ese ángulo era de 87º grados, y por tanto en la ecuación anterior el Sol esta 19 veces más lejos de la Tierra que la Luna, y por tanto tiene un radio 19 veces mayor. Hoy sabemos que el radio del Sol es en realidad 344 veces mayor que el de la Luna y que el ángulo que obtuvo Aristarco esta mucho más próximo a 90º. Salvo por este error numérico, el método utilizado nos proporciona una manera correcta de conocer las distancias y tamaños relativos de la Luna y el Sol. Para hallar los tamaños absolutos es necesario tener también un objeto de tamaño conocido con el que comparar, el cual sería la Tierra en este caso.
Aristarco encontró la manera de comparar los tamaños absolutos de la Tierra y la Luna mediante un eclipse lunar.

La Luna atravesando el cono de sombra de la Tierra.

Durante un eclipse de Luna esta entra en el cono de sombra de la Tierra y sale de él al cabo de unas horas. Aristarco descubrió que el tiempo que transcurre entre el momento en que la Luna comienza a entrar en el cono de sombra (1) y cuando empieza a salir (3), era poco más que el doble del tiempo entre la entrada (1) y la compleción de la misma (2).
Entre (1) y (2) la distancia es el propio diámetro de la Luna. Y entre (1) y (3) la distancia es el diámetro del cono de sombra. Como la Luna se mueve en el cielo a una velocidad constante, la proporción de los tiempo es igual a la proporción de las distancias.
Tenemos entonces la proporción del radio de la Luna, no con la Tierra, pero si con su cono de sombra. Solo sería necesario conocer entonces cual es el cono de sombra de la Tierra.

De esta manera, el problema original se resolvería según el siguiente procedimiento:
1. Sabiendo el cono de sombra de la Tierra se puede hallar el radio de la Luna.
2. Hallando el radio de la Luna obtenemos la distancia entre la Tierra y la Luna.
3. Con la distancia entre la Tierra y la Luna se puede obtener la distancia entre la Tierra y el Sol.
4. Sabiendo la distancia entre la Tierra y el Sol, es posible determinar el radio de este.