El Principio de Arquímedes
En su obra Sobre los cuerpos flotantes Arquímedes (287-212 a.C) recogió sus teorías sobre hidroestática. De los dos libros que la conforman, el primer estipula las leyes hidrostáticas, mientras que en el segundo se encarga de los problemas matemáticos derivados de estas.
Por la complejidad que conlleva el intentar geometrizar un sistema físico, y añadiendo que Arquímedes no especificó los términos iniciales en los que se basó para sistematizar sus teoremas, es difícil decidir hasta que punto su sistema formal es una abstracción adecuada del sistema físico.
Reflejo de esto, en su primer Postulado, Arquímedes explicó los términos usados para sistematizar las leyes empíricas de la hidrostática del siguiente modo:
"Supongamos que un fluido de tal naturaleza que de las partes adyacentes que están al mismo nivel, la que presiona menos es expulsada por la que presiona más, así como que cada parte esta presionado por el fluido que se halla verticalmente encima, siempre y cuando el fluido no esté encerrado en nada ni comprimido por nada".
Se puede entender de aquí que la idea de Arquímedes es reducir las cuestiones hidroestáticas a relaciones de equilibro entre presiones derivadas de un fluido incomprensible y homogéneo. La situación descrita por el Postulado parece ser la abstracción de un océano universal que cubriese a la Tierra subyacente por todas partes. Este fluido se puede dividir en cualesquiera partes (columnas, sectores cónicos...) de manera que entren en relaciones de equilibrio por pares.
No se sabe como interactúan físicamente estos sectores. Aparte Arquímedes en su obra solo habla de presión centrípeta y no considera la presión hidrostática en todas las direcciones, ni la paradoja hidrostática (en la que las columnas de igual altura ejercen la misma presión por área sobre el fondo, al margen de su tamaño y forma.)
Aceptando estos baches, la consideración de estos sectores cualesquiera en los que dividir el fluido permite colocar encima sólidos que presionan más o menos en función de su peso.
El libro I se orienta en demostrar el llamado Principio de Arquímedes.
- En la Proposición 2 se prueba que la superficie de un fluido en reposo como la del primer Postulado es una esfera con el mismo centro que la Tierra. Pero como Arquímedes supone que realmente no lo es, gracias al Postulado 1 se obtiene un absurdo: qué no esta en equilibrio y en reposo.
- En la Proposición 3 se demuestra que los sólidos con el mismo peso específico que el fluido se hundirán en él justo hasta que no sobresalgan, sin descender más.
- La Proposición 4 prueba que si el sólido es más ligero (en especie) que el fluido, no se hundirá del todo sino que (según la Proposición 5) solo lo hará hasta que el volumen del fluido desplazado pese lo mismo que el cuerpo.
Las Proposiciones 6 y 7 recogen el Principio de Arquímedes para cuerpos mas densos y menos densos que el fluido:
- La Proposición 6 establece que un sólido más ligero que el fluido, si esta totalmente sumergido en el, será empujado hacia arriba con una fuerza igual a la diferencia entre el peso del fluido desplazado y el del sólido.
Según esto A y D serían dos sólidos con pesos B y G respectivamente, siendo B+G el peso del fluido desplazado por A. El cuerpo compuesto por A+D pesará menos que el fluido desplazado (pues el peso del compuesto B+G es igual al peso del fluido desplazado solo por A). De esta manera el cuerpo A+D se hundirá hasta que todo A esté sumergido, porque el fluido desplazado pesará B+G. De ahí que la fuerza con la que A se verá empujado hacía arriba sea igual a G, el peso de D, pues es la diferencia entre el peso del fluido desplazado por A, que es B+G, y el peso de A, que es B.
Continuando con las Proposiciones:
-La Proposición 7 expone que si se pone en un fluido un sólido más pesado que él, se hundirá hasta el fondo y, en dicho fluido, será menos pesado que en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.
La primera parte de la Proposición es lógica, la parte del fluido bajo el sólido estará a mayor presión, con lo que las otras partes cederán hasta que el sólido llegue al fondo.
Según la segunda parte, A sería un sólido más pesado que el mismo volumen del fluido, G+H el peso del sólido y G el del fluido. B sería un sólido más ligero que el fluido que desplaza, de modo que su peso será G y el fluido G+H.
Si A+B se sumergen, como A+B pesaría lo mismo que el fluido desplazado (pues ambos pesos son igual a G+H+G) se sigue que A+B permanecerá estacionario en el fluido (la Proposición 3).
Por lo tanto la fuerza que hará hundirse a A será igual a la fuerza ascendente ejercida por el fluido sobre B que es (por la Proposición 6) igual a la diferencia entre G+H y G. Por ende, A se hundirá con una fuerza igual a H; esto es, su peso en el fluido es H, que es la diferencia entre G+H (el peso del sólido) y G (el peso del fluido desplazado).
A pesar de que las obras mecánicas de Arquímedes fueron un modelo para la física a partir del Renacimiento, en la Antigüedad solo atrajo a autores matemáticos.
Vitruvio (s.I a.C) parece ser que entendió parcialmente este mismo teorema. En el libro IX de De arquitectura cuenta una famosa anécdota para explicar el origen político-económico del Principio de Arquímedes.
Según esta historia, el rey Hierón de Siracusa había dado una determinada cantidad de oro a un orfebre para que hiciera una corona. Esta pesaba lo mismo que el oro suministrado, pero se sospechaba que había sustituido parte del oro por plata. Ya que no se sabía como demostrarlo, se le planteó el problema a Arquímedes, quien se dice que al meterse en una bañera llena observó que el agua desbordaba (una trivialidad para la que no se precisa el genio de Arquímedes) y que loco de alegría se lanzo a la calle gritando "¡Lo encontré!" (Eureka en griego).
Tras esta anécdota, la reconstrucción que hace Vitruvio de la solución de Arquímedes no es demasiado acertada. Este cuenta que Arquímedes tomó la corona, un peso igual de oro y otro de plata, y los metió sucesivamente en un cacharro lleno de agua para recoger la sobrante y hallar los volúmenes Vc, Vo y Vp, con lo que la razón del peso de oro sería (Vp-Vc)/(Vc-Vo).
Pero si es cierta la historia de que este problema fue planteado a Arquímedes, es más probable que utilizase su Proposición 7 para resolverlo.
Para ello se pesarían en agua pesos unidad de oro y plata y se observaría la diferencia. La diferencia entre el peso de la corona y uno igual de plata (pesados en agua) dividida por la diferencia anterior, daría el contenido de oro puro de la corona.
Texto e imágenes extraidos de:
- Carlos Solís y Manuel Sellés, (2018). Las ciencias matemáticas griegas. En: Historia de la Ciencia. Barcelona, España: Espasa Libros.
Por la complejidad que conlleva el intentar geometrizar un sistema físico, y añadiendo que Arquímedes no especificó los términos iniciales en los que se basó para sistematizar sus teoremas, es difícil decidir hasta que punto su sistema formal es una abstracción adecuada del sistema físico.
Reflejo de esto, en su primer Postulado, Arquímedes explicó los términos usados para sistematizar las leyes empíricas de la hidrostática del siguiente modo:
"Supongamos que un fluido de tal naturaleza que de las partes adyacentes que están al mismo nivel, la que presiona menos es expulsada por la que presiona más, así como que cada parte esta presionado por el fluido que se halla verticalmente encima, siempre y cuando el fluido no esté encerrado en nada ni comprimido por nada".
Se puede entender de aquí que la idea de Arquímedes es reducir las cuestiones hidroestáticas a relaciones de equilibro entre presiones derivadas de un fluido incomprensible y homogéneo. La situación descrita por el Postulado parece ser la abstracción de un océano universal que cubriese a la Tierra subyacente por todas partes. Este fluido se puede dividir en cualesquiera partes (columnas, sectores cónicos...) de manera que entren en relaciones de equilibrio por pares.
No se sabe como interactúan físicamente estos sectores. Aparte Arquímedes en su obra solo habla de presión centrípeta y no considera la presión hidrostática en todas las direcciones, ni la paradoja hidrostática (en la que las columnas de igual altura ejercen la misma presión por área sobre el fondo, al margen de su tamaño y forma.)
Aceptando estos baches, la consideración de estos sectores cualesquiera en los que dividir el fluido permite colocar encima sólidos que presionan más o menos en función de su peso.
El libro I se orienta en demostrar el llamado Principio de Arquímedes.
- En la Proposición 2 se prueba que la superficie de un fluido en reposo como la del primer Postulado es una esfera con el mismo centro que la Tierra. Pero como Arquímedes supone que realmente no lo es, gracias al Postulado 1 se obtiene un absurdo: qué no esta en equilibrio y en reposo.
- En la Proposición 3 se demuestra que los sólidos con el mismo peso específico que el fluido se hundirán en él justo hasta que no sobresalgan, sin descender más.
- La Proposición 4 prueba que si el sólido es más ligero (en especie) que el fluido, no se hundirá del todo sino que (según la Proposición 5) solo lo hará hasta que el volumen del fluido desplazado pese lo mismo que el cuerpo.
Las Proposiciones 6 y 7 recogen el Principio de Arquímedes para cuerpos mas densos y menos densos que el fluido:
- La Proposición 6 establece que un sólido más ligero que el fluido, si esta totalmente sumergido en el, será empujado hacia arriba con una fuerza igual a la diferencia entre el peso del fluido desplazado y el del sólido.
Según esto A y D serían dos sólidos con pesos B y G respectivamente, siendo B+G el peso del fluido desplazado por A. El cuerpo compuesto por A+D pesará menos que el fluido desplazado (pues el peso del compuesto B+G es igual al peso del fluido desplazado solo por A). De esta manera el cuerpo A+D se hundirá hasta que todo A esté sumergido, porque el fluido desplazado pesará B+G. De ahí que la fuerza con la que A se verá empujado hacía arriba sea igual a G, el peso de D, pues es la diferencia entre el peso del fluido desplazado por A, que es B+G, y el peso de A, que es B.
Continuando con las Proposiciones:
-La Proposición 7 expone que si se pone en un fluido un sólido más pesado que él, se hundirá hasta el fondo y, en dicho fluido, será menos pesado que en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.
La primera parte de la Proposición es lógica, la parte del fluido bajo el sólido estará a mayor presión, con lo que las otras partes cederán hasta que el sólido llegue al fondo.
Según la segunda parte, A sería un sólido más pesado que el mismo volumen del fluido, G+H el peso del sólido y G el del fluido. B sería un sólido más ligero que el fluido que desplaza, de modo que su peso será G y el fluido G+H.Si A+B se sumergen, como A+B pesaría lo mismo que el fluido desplazado (pues ambos pesos son igual a G+H+G) se sigue que A+B permanecerá estacionario en el fluido (la Proposición 3).
Por lo tanto la fuerza que hará hundirse a A será igual a la fuerza ascendente ejercida por el fluido sobre B que es (por la Proposición 6) igual a la diferencia entre G+H y G. Por ende, A se hundirá con una fuerza igual a H; esto es, su peso en el fluido es H, que es la diferencia entre G+H (el peso del sólido) y G (el peso del fluido desplazado).
A pesar de que las obras mecánicas de Arquímedes fueron un modelo para la física a partir del Renacimiento, en la Antigüedad solo atrajo a autores matemáticos.
Vitruvio (s.I a.C) parece ser que entendió parcialmente este mismo teorema. En el libro IX de De arquitectura cuenta una famosa anécdota para explicar el origen político-económico del Principio de Arquímedes.
Según esta historia, el rey Hierón de Siracusa había dado una determinada cantidad de oro a un orfebre para que hiciera una corona. Esta pesaba lo mismo que el oro suministrado, pero se sospechaba que había sustituido parte del oro por plata. Ya que no se sabía como demostrarlo, se le planteó el problema a Arquímedes, quien se dice que al meterse en una bañera llena observó que el agua desbordaba (una trivialidad para la que no se precisa el genio de Arquímedes) y que loco de alegría se lanzo a la calle gritando "¡Lo encontré!" (Eureka en griego).
Tras esta anécdota, la reconstrucción que hace Vitruvio de la solución de Arquímedes no es demasiado acertada. Este cuenta que Arquímedes tomó la corona, un peso igual de oro y otro de plata, y los metió sucesivamente en un cacharro lleno de agua para recoger la sobrante y hallar los volúmenes Vc, Vo y Vp, con lo que la razón del peso de oro sería (Vp-Vc)/(Vc-Vo).
Pero si es cierta la historia de que este problema fue planteado a Arquímedes, es más probable que utilizase su Proposición 7 para resolverlo.
Para ello se pesarían en agua pesos unidad de oro y plata y se observaría la diferencia. La diferencia entre el peso de la corona y uno igual de plata (pesados en agua) dividida por la diferencia anterior, daría el contenido de oro puro de la corona.
Texto e imágenes extraidos de:
- Carlos Solís y Manuel Sellés, (2018). Las ciencias matemáticas griegas. En: Historia de la Ciencia. Barcelona, España: Espasa Libros.
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