Las paradojas del movimiento de Zenón de Elea
'Cuatro son los argumentos de Zenón sobre el movimiento que crean dificultades a los que tratan de resolver los problemas que plantean.'
Aristóteles, Física
El especial grupo de paradojas de Zenón había obtenido ya en época de Aristóteles gran notoriedad. En el libro Los filósofos presocráticos de Kirk, Raven y Schofield se incluye una detallada descripción de la estructura de cada una de ellas y de sus rasgos más destacados.
Incluyo a continuación un extracto del libro sobre las tres primeras: El estadio, Aquiles y la tortuga, y la Flecha.
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El estadio
'...El primero afirma la no existencia del movimiento sobre la base de que el móvil debe llegar a la mitad del camino antes de llegar al final...'
Aristóteles, Tópicos
'Muchos argumentos, como el de Zenón, tenemos en contra de las opiniones de que el movimiento es imposible y que no se puede recorrer el estadio.'
Aristóteles, Física
'Por lo que también el argumento de Zenón es falso al afirmar que no es posible recorrer las cosas infinitas o entrar en contacto separadamente con ella en un tiempo infinito. Pues de dos maneras se dice que son infinitos la longitud, el tiempo y, en general, todo lo que es continuo: o respecto a su divisibilidad, o respecto a sus extremos. Mientras que no es posible entrar en contacto con las cosas cuantitativamente infinitas en un tiempo finito, sí que lo es respecto a la divisibilidad; pues también el tiempo es, en este sentido, infinito; de manera que se recorre lo infinito en un tiempo infinito y no en uno finito y se entra en contacto con las cosas infinitas no mediante momentos finitos, sino numéricamente infinitos.'
Aristóteles, Física
La exposición aristotélica de este rompecabezas (conocido a veces como la Dicotomía) es breve y alusiva en extremo. Es incluso oscuro saber si la misión del corredor en el estadio es alcanzar el punto medio antes del medio de la carrera (y a continuación del punto medio anterior, etc.) o, más bien, el punto medio después del punto medio. Pero aún así se puede extraer la siguiente argumentación:
1. Para alcanzar la meta el corredor debe alcanzar infinitos puntos ordenados en la secuencia 1/2, 1/4, 1/8...
2. Es imposible alcanzar infinitos puntos en un tiempo finito; por tanto,
3. el corredor no puede alcanzar su meta.
Aristóteles cree que podemos oponernos fácilmente a la conclusión absurda 3 rechazando 2: un tiempo finito es infinitamente divisible y un tiempo infinitamente divisible es suficiente para que el corredor recorra una distancia infinitamente divisible y alcance los puntos que señalan sus divisiones.
'Pero aunque esta solución es una réplica adecuada al que pregunta (pues se preguntaba si era posible recorrer o contar cosas infinitas en un tiempo infinito), es inadecuada a los hechos y a la verdad... de tal manera que, si alguno pregunta si es posible recorrer cosas infinitas -tanto en tiempo como en distancia- se debe contestar que, en cierta manera, lo es, pero en otra, no lo es. Porque, si existen realmente, no es posible, pero si son en potencia, es posible; pues el que esta en movimiento continuo ha recorrido infinitas cosas incidentalmente, pero no de forma absoluta, porque es incidental a la línea ser infinitamente muchas mitades, pero su esencia y su ser son diferentes.'
Aristóteles, Física
Aristóteles manifiesta en esta cita un cambio de réplica. La solución dada en el primer extracto procura una respuesta ad hominem a Zenón. Pero esta última resulta más fácilmente rechazable si se formula de este modo:
2'. Es imposible conseguir el objetivo de alcanzar infinitos puntos.
Aristóteles responde a la reformulación del argumento con la observación de que 2' sería verdad solo si 'infinitos puntos' quisiera decir 'infinitos puntos realmente existentes'; cree que en este caso, sin duda, sería verdad, porque cree imposible llevar a cabo un infinito número de actos físicos discretos con el valor de 'contacto' o 'entrar en contacto con' cada uno de una real infinitud de puntos. Pero de hecho, supone Aristóteles, una interpretación más débil de 'puntos infinitos' es exigida por 1: el corredor debe recorrer una distancia finita dividida por una infinitud de puntos, cuya existencia es solo potencial. Y si se adopta esta lectura más débil, entonces 2' es falso.
La segunda solución de Aristóteles ilumina las cuestiones fundamentales que suscita la paradoja y que siguen siendo aún objeto de debate. En particular, cuesta determinar si la imposibilidad de completar la serie de un número infinito de actos físicos discretos (si realmente es imposible) es una imposibilidad lógica o física, ni en qué consiste en cualquiera de los dos casos.
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Aquiles y la tortuga
'El segundo es el llamado 'Aquiles' y consiste en lo siguiente: el corredor más lento no será nunca adelantado por el más rápido; pues es necesario que antes llegue el perseguidor al punto de donde partió el perseguido, de modo que es preciso que el más lento vaya siempre algo delante. Este argumento es el mismo que el se basa en al bisección, pero se diferencia de él en que no divide en mitades las magnitudes añadidas.'
Aristóteles, Física
Mientras que al corredor de la anterior paradoja se le exigía recorrer una sucesión de puntos intermedios, Aquiles tiene que alcanzar el punto que la tortuga ha alcanzado, cuando él ha llegado a su punto de partida, ad finitum. Si suponemos que perseguidor y perseguido corren a una velocidad uniforme, la serie de carreras de Aquiles constituye una progresión geométrica que converge hacia cero. Como Aristóteles comenta, Aquiles es simplemente una versión teatralizada del estadio.
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La flecha
'El tercero es el ya mencionado, i. e., que la flecha en movimiento esta en reposo; ello se debe a que supone que el tiempo consta de 'ahoras', pues si no se admite este supuesto, no se sigue la conclusión.
Zenón argumenta con falacia, porque si, dice, todo esta siempre en reposo, cuando está frente a lo que es igual y lo que está en movimientos está siempre en el ahora, la flecha en movimiento esta inmóvil. Pero esto es falso: pues el tiempo no se compone de 'ahoras' indivisibles, como tampoco ninguna otra magnitud.'
Aristóteles, Física
'Zenón anula el movimiento cuando dice: lo que se mueve, ni se mueve en el lugar que está ni en el que no está.'
Diógenes Laercio
El texto anterior de Aristóteles es dudoso y sumamente condensado; no manifiesta que el argumento de la Flecha probablemente constituía el primer miembro de la antinomia atribuía a Zenón por Diógenes Laercio - que más tarde tomaría prestada Diodoro Crono.
Una reconstrucción del razonamiento que compendia Aristóteles sería la siguiente:
1. Todo lo que ocupa un lugar igual a su propio tamaño esta en reposo.
2. En el presente lo que esta en movimiento ocupa un lugar igual a su propio tamaño.
Por tanto,
3. en el presente, lo que está en movimiento está en reposo.
Ahora bien,
4. lo que está en movimiento, se mueve siempre en el presente.
Luego,
5. lo que está en movimiento está siempre -durante su movimiento- en reposo.
Aristóteles protesta contra la inferencia 5 a partir de 3 y 4. Considera que Zenón le atribuye al 'ahora' la misma significación que la suya (el instante concebido como un instante indivisible); y sugiere que sólo podemos considerar válida la inferencia si falsamente aceptamos con Zenón que un periodo de tiempo es la suma de sus instantes indivisibles. La sugerencia de Aristóteles es errada y es el culpable de la misma noción errada de que Zenón supone, en la Flecha, que el espacio y el tiempo no son infinitamente divisibles. Su argumento no requiere una asunción determinada respecto a la estructura del espacio y del tiempo; la validez de su inferencia solo requiere que lo que es verdad de algo en todo momento de un periodo de tiempo lo sea durante todo el periodo.
La paradoja lanza un desafío incisivo a la idea atractiva de que el movimiento debe ocurrir -si es que ocurre en absoluto- en el presente. Manifiesta que es difícil reconciliar esta idea con la noción igualmente atractiva de que lo que se mueve en el presente no puede estar recorriendo distancia alguna. Tal vez están en juego dos concepciones incompatibles del 'ahora' - una, la de una duración presente; otra, la de un instante indivisible, como si fuera una línea que divide el pasado del futuro.
Aún así, el argumento de Zenón no resulta menos grandioso, ya que nos fuerza a la distinción. La elección entre ambas alternativas depende de las arraigadas predilecciones de cada cual respecto a la filosofía del tiempo.
Texto extraído de:
G.S. Kirk, J. Raven, M. Schofield (2019). Zenón de Elea. En: Los filósofos presocráticos. Barcelona, España: Editorial Gredos
Aristóteles, Física
El especial grupo de paradojas de Zenón había obtenido ya en época de Aristóteles gran notoriedad. En el libro Los filósofos presocráticos de Kirk, Raven y Schofield se incluye una detallada descripción de la estructura de cada una de ellas y de sus rasgos más destacados.
Incluyo a continuación un extracto del libro sobre las tres primeras: El estadio, Aquiles y la tortuga, y la Flecha.
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El estadio
'...El primero afirma la no existencia del movimiento sobre la base de que el móvil debe llegar a la mitad del camino antes de llegar al final...'
Aristóteles, Tópicos
'Muchos argumentos, como el de Zenón, tenemos en contra de las opiniones de que el movimiento es imposible y que no se puede recorrer el estadio.'
Aristóteles, Física
'Por lo que también el argumento de Zenón es falso al afirmar que no es posible recorrer las cosas infinitas o entrar en contacto separadamente con ella en un tiempo infinito. Pues de dos maneras se dice que son infinitos la longitud, el tiempo y, en general, todo lo que es continuo: o respecto a su divisibilidad, o respecto a sus extremos. Mientras que no es posible entrar en contacto con las cosas cuantitativamente infinitas en un tiempo finito, sí que lo es respecto a la divisibilidad; pues también el tiempo es, en este sentido, infinito; de manera que se recorre lo infinito en un tiempo infinito y no en uno finito y se entra en contacto con las cosas infinitas no mediante momentos finitos, sino numéricamente infinitos.'
Aristóteles, Física
La exposición aristotélica de este rompecabezas (conocido a veces como la Dicotomía) es breve y alusiva en extremo. Es incluso oscuro saber si la misión del corredor en el estadio es alcanzar el punto medio antes del medio de la carrera (y a continuación del punto medio anterior, etc.) o, más bien, el punto medio después del punto medio. Pero aún así se puede extraer la siguiente argumentación:
1. Para alcanzar la meta el corredor debe alcanzar infinitos puntos ordenados en la secuencia 1/2, 1/4, 1/8...
2. Es imposible alcanzar infinitos puntos en un tiempo finito; por tanto,
3. el corredor no puede alcanzar su meta.
Aristóteles cree que podemos oponernos fácilmente a la conclusión absurda 3 rechazando 2: un tiempo finito es infinitamente divisible y un tiempo infinitamente divisible es suficiente para que el corredor recorra una distancia infinitamente divisible y alcance los puntos que señalan sus divisiones.
'Pero aunque esta solución es una réplica adecuada al que pregunta (pues se preguntaba si era posible recorrer o contar cosas infinitas en un tiempo infinito), es inadecuada a los hechos y a la verdad... de tal manera que, si alguno pregunta si es posible recorrer cosas infinitas -tanto en tiempo como en distancia- se debe contestar que, en cierta manera, lo es, pero en otra, no lo es. Porque, si existen realmente, no es posible, pero si son en potencia, es posible; pues el que esta en movimiento continuo ha recorrido infinitas cosas incidentalmente, pero no de forma absoluta, porque es incidental a la línea ser infinitamente muchas mitades, pero su esencia y su ser son diferentes.'
Aristóteles, Física
Aristóteles manifiesta en esta cita un cambio de réplica. La solución dada en el primer extracto procura una respuesta ad hominem a Zenón. Pero esta última resulta más fácilmente rechazable si se formula de este modo:
2'. Es imposible conseguir el objetivo de alcanzar infinitos puntos.
Aristóteles responde a la reformulación del argumento con la observación de que 2' sería verdad solo si 'infinitos puntos' quisiera decir 'infinitos puntos realmente existentes'; cree que en este caso, sin duda, sería verdad, porque cree imposible llevar a cabo un infinito número de actos físicos discretos con el valor de 'contacto' o 'entrar en contacto con' cada uno de una real infinitud de puntos. Pero de hecho, supone Aristóteles, una interpretación más débil de 'puntos infinitos' es exigida por 1: el corredor debe recorrer una distancia finita dividida por una infinitud de puntos, cuya existencia es solo potencial. Y si se adopta esta lectura más débil, entonces 2' es falso.
La segunda solución de Aristóteles ilumina las cuestiones fundamentales que suscita la paradoja y que siguen siendo aún objeto de debate. En particular, cuesta determinar si la imposibilidad de completar la serie de un número infinito de actos físicos discretos (si realmente es imposible) es una imposibilidad lógica o física, ni en qué consiste en cualquiera de los dos casos.
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Aquiles y la tortuga
'El segundo es el llamado 'Aquiles' y consiste en lo siguiente: el corredor más lento no será nunca adelantado por el más rápido; pues es necesario que antes llegue el perseguidor al punto de donde partió el perseguido, de modo que es preciso que el más lento vaya siempre algo delante. Este argumento es el mismo que el se basa en al bisección, pero se diferencia de él en que no divide en mitades las magnitudes añadidas.'
Aristóteles, Física
Mientras que al corredor de la anterior paradoja se le exigía recorrer una sucesión de puntos intermedios, Aquiles tiene que alcanzar el punto que la tortuga ha alcanzado, cuando él ha llegado a su punto de partida, ad finitum. Si suponemos que perseguidor y perseguido corren a una velocidad uniforme, la serie de carreras de Aquiles constituye una progresión geométrica que converge hacia cero. Como Aristóteles comenta, Aquiles es simplemente una versión teatralizada del estadio.
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La flecha
'El tercero es el ya mencionado, i. e., que la flecha en movimiento esta en reposo; ello se debe a que supone que el tiempo consta de 'ahoras', pues si no se admite este supuesto, no se sigue la conclusión.
Zenón argumenta con falacia, porque si, dice, todo esta siempre en reposo, cuando está frente a lo que es igual y lo que está en movimientos está siempre en el ahora, la flecha en movimiento esta inmóvil. Pero esto es falso: pues el tiempo no se compone de 'ahoras' indivisibles, como tampoco ninguna otra magnitud.'
Aristóteles, Física
'Zenón anula el movimiento cuando dice: lo que se mueve, ni se mueve en el lugar que está ni en el que no está.'
Diógenes Laercio
El texto anterior de Aristóteles es dudoso y sumamente condensado; no manifiesta que el argumento de la Flecha probablemente constituía el primer miembro de la antinomia atribuía a Zenón por Diógenes Laercio - que más tarde tomaría prestada Diodoro Crono.
Una reconstrucción del razonamiento que compendia Aristóteles sería la siguiente:
1. Todo lo que ocupa un lugar igual a su propio tamaño esta en reposo.
2. En el presente lo que esta en movimiento ocupa un lugar igual a su propio tamaño.
Por tanto,
3. en el presente, lo que está en movimiento está en reposo.
Ahora bien,
4. lo que está en movimiento, se mueve siempre en el presente.
Luego,
5. lo que está en movimiento está siempre -durante su movimiento- en reposo.
Aristóteles protesta contra la inferencia 5 a partir de 3 y 4. Considera que Zenón le atribuye al 'ahora' la misma significación que la suya (el instante concebido como un instante indivisible); y sugiere que sólo podemos considerar válida la inferencia si falsamente aceptamos con Zenón que un periodo de tiempo es la suma de sus instantes indivisibles. La sugerencia de Aristóteles es errada y es el culpable de la misma noción errada de que Zenón supone, en la Flecha, que el espacio y el tiempo no son infinitamente divisibles. Su argumento no requiere una asunción determinada respecto a la estructura del espacio y del tiempo; la validez de su inferencia solo requiere que lo que es verdad de algo en todo momento de un periodo de tiempo lo sea durante todo el periodo.
La paradoja lanza un desafío incisivo a la idea atractiva de que el movimiento debe ocurrir -si es que ocurre en absoluto- en el presente. Manifiesta que es difícil reconciliar esta idea con la noción igualmente atractiva de que lo que se mueve en el presente no puede estar recorriendo distancia alguna. Tal vez están en juego dos concepciones incompatibles del 'ahora' - una, la de una duración presente; otra, la de un instante indivisible, como si fuera una línea que divide el pasado del futuro.
Aún así, el argumento de Zenón no resulta menos grandioso, ya que nos fuerza a la distinción. La elección entre ambas alternativas depende de las arraigadas predilecciones de cada cual respecto a la filosofía del tiempo.
Texto extraído de:
G.S. Kirk, J. Raven, M. Schofield (2019). Zenón de Elea. En: Los filósofos presocráticos. Barcelona, España: Editorial Gredos
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